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Conjecturas de Goldbach

     Em 1742, o matemático Christian Goldbach escreveu uma carta para o também matemático Leonhard Euler, propondo dois problemas que, até pouco tempo atrás, tiveram pouco progresso. Em termos atuais, os problemas são chamados de conjectura forte de Goldbach e conjectura fraca de Goldbach. A conjectura forte é a afirmação de que todo número inteiro par maior do que 2 é a soma de dois números primos. Já a conjectura fraca (também conhecida como problema ternário de Goldbach) é a afirmação de que todo número inteiro ímpar maior do que 5 é a soma de três números primos. A conjectura é chamada de "fraca", pois, se a conjectura forte for provada, a conjectura fraca é automaticamente verdadeira.

Carta de Goldbach para Euler.

     Em 1923, G. H. Hardy e J. E. Littlewood mostraram que, considerando a hipótese generalizada de Riemann, a conjectura fraca de Goldbach é verdadeira para todos os números ímpares "suficientemente grandes". Em 1937, I. M. Vinogradov conseguiu eliminar a necessidade de considerar a hipótese generalizada de Riemann e provou diretamente que todos os números ímpares "suficientemente grandes" (n > C) podem ser expressos como a soma de três primos. Apesar de Vinogradov não ter sido capaz de especificar "suficientemente grande" numericamente, seu próprio aluno K. Borozdin provou, em 1939, que C = 3^14348907 é grande o suficiente. Este número tem mais de 6 milhões de dígitos. Dessa forma, verificar cada número menor que esse seria totalmente impraticável com a tecnologia da época (e com a atual).

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Matemática do amor

     Não espere ver nesta postagem nenhuma explicação matemática para o amor; muito menos como ter seu amado (ou sua amada) de volta em poucos dias, usando teoria dos números.     

     Com o dia dos namorados se aproximando, resolvi mostrar exemplos de expressões matemáticas que, quando representadas graficamente, possuem formatos de coração. Uma matemática romântica, eu diria, para esses dias. Somente isso.

     Antes de mostrar os exemplos, é interessante mencionar que, desde 2011, o "grande sábio" Google é capaz de exibir gráficos de funções que colocamos em sua barra de buscas. Desde que, obviamente, as funções sejam escritas de modo apropriado.

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Curiosidade matemática: conjectura de Collatz

     A conjectura de Collatz foi mencionada, originalmente, pelo matemático alemão Lothar Collatz em 1937. Ela estabelece uma seqüência de números, ou trajetória, que a partir de um número natural inicial obedece aos seguintes critérios: se o número for par, seu sucessor na seqüência será sua metade; se o número for ímpar, seu sucessor será uma unidade superior ao seu triplo. Ou seja: 
Se n for par, n’ = n/2;
Se n for ímpar, n’ = 3n + 1.
Então, tome o n’ como o novo valor inicial e repita o processo. Desta forma, por exemplo, se a seqüência iniciar com o número 12, teremos: 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Interrompendo o procedimento no número 1 a pergunta que se faz é: qualquer que seja o número natural inicial a seqüência terminará em 1? 
     A conjectura de Collatz também é chamada de problema 3n + 1. Até 2008, ela tinha sido verificada para números ≤ 19 × 2⁵⁸. E até onde sei, essa conjectura continua sem uma prova rigorosa.