Conjecturas de Goldbach

     Em 1742, o matemático Christian Goldbach escreveu uma carta para o também matemático Leonhard Euler, propondo dois problemas que, até pouco tempo atrás, tiveram pouco progresso. Em termos atuais, os problemas são chamados de conjectura forte de Goldbach e conjectura fraca de Goldbach. A conjectura forte é a afirmação de que todo número inteiro par maior do que 2 é a soma de dois números primos. Já a conjectura fraca (também conhecida como problema ternário de Goldbach) é a afirmação de que todo número inteiro ímpar maior do que 5 é a soma de três números primos. A conjectura é chamada de "fraca", pois, se a conjectura forte for provada, a conjectura fraca é automaticamente verdadeira.

Carta de Goldbach para Euler.

     Em 1923, G. H. Hardy e J. E. Littlewood mostraram que, considerando a hipótese generalizada de Riemann, a conjectura fraca de Goldbach é verdadeira para todos os números ímpares "suficientemente grandes". Em 1937, I. M. Vinogradov conseguiu eliminar a necessidade de considerar a hipótese generalizada de Riemann e provou diretamente que todos os números ímpares "suficientemente grandes" (n > C) podem ser expressos como a soma de três primos. Apesar de Vinogradov não ter sido capaz de especificar "suficientemente grande" numericamente, seu próprio aluno K. Borozdin provou, em 1939, que C = 3^14348907 é grande o suficiente. Este número tem mais de 6 milhões de dígitos. Dessa forma, verificar cada número menor que esse seria totalmente impraticável com a tecnologia da época (e com a atual).

     Em  2002, M.-Ch. Liu e T. Wang baixaram esse limiar para, aproximadamente, C = e³¹⁰⁰ ≈ 2 × 10¹³⁴⁶. Esse valor ainda é muito grande para que todos os números menores sejam verificados por computador.

     Em maio deste ano, o matemático peruano H. A. Helfgott publicou um artigo de 133 páginas, com o que seria a prova da conjectura fraca de Goldbach. Em seu artigo, Helfgott baixou bastante o limiar supracitado para n ≥ C = 10³⁰ e acrescentou que a conjectura fraca fora verificada por computador para n ≤ 8,875 × 10³⁰.

     Atualmente, essa prova para a conjectura fraca de Goldbach possui grande aceitação na comunidade matemática.

     A conjectura forte de Goldbach, entretanto, segue sem prova, apesar de esforços consideráveis.

(Fontes: http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1.pdf, http://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/Goldbach_s_weak_conjecture.html, http://blogs.ams.org/mathgradblog/2013/07/03/infinitude-fermat-numbers/)